解题思路:(1)显然该函数是偶函数,所以只需研究当x>0时的函数最值,对函数求导,判断导数在定义域内的符号确定单调性;
(2)利用函数的导数研究单调性、极值、最值情况研究图象,再结合图象确定k的范围.
( I )∵f(x)为偶函数,∴我们先求其在(0,+∞)内的最值.
求导得f′(x)=x(2lnx+1),令f′(x)=0⇒2lnx+1=0⇒x=e
1
2,
易知:x∈(0,e −
1
2)时,f′(x)<0⇒f(x)单调递减;x∈(e −
1
2,+∞)时,f′(x)>0⇒f(x)单调递增.
故f(x)在(0,+∞)上的最小值f(x)min=f(e −
1
2)=-[1/2e].
再由f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称即知:f(x)min=-[1/2e]为所求.
( II )由( I )知:f(x)的图象大致如右图所示:
由图象(曲线为f(x)的图象)知:当求出直线y=kx-1
与f(x)的图象相切时,其斜率k的值后,便可求得该直线与f(x)的图象无交点,即
方程f(x)=kx-1无实数解时,其斜率k的取值范围.我们先考虑x>0的情况.
设切点为(x0,y0),x0>0⇒k切=x0(2ln x0+1)⇒切线方程为:y=x0(2ln x0+1)x+y0-x02(2ln x0+1),
因该切线与y=kx-1重合,故x02(2ln x0+1)=1⇒2x02ln x0=1-x02.此即2 f(x0)=1-x02. (※)
在同一坐标系内,作出函数y=2f(x),x>0,与y=1-x2的图象,可知它们的交点为(1,0).
故方程(※)的解为:x0=1⇒k切=1;⇒x>0时,k≥1,直线y=kx-1与f(x)的图象有交点(即原方程有解).
再根据f(x)的图象的对称性易知:k≤-1时,直线y=kx-1与f(x)的图象也有交点.
故-1<k<1时,直线y=kx-1与f(x)的图象无交点,即方程f(x)=kx-1无实数解.
故所求的k的范围是(-1,1).
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点与方程根的关系.
考点点评: 本题充分考查了利用导数研究函数的单调性、极值、等性质,确定函数的图象,再进一步研究方程根的取值情况的常规思路.