已知函数f(x)=x2•ln|x|(x≠0).

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  • 解题思路:(1)显然该函数是偶函数,所以只需研究当x>0时的函数最值,对函数求导,判断导数在定义域内的符号确定单调性;

    (2)利用函数的导数研究单调性、极值、最值情况研究图象,再结合图象确定k的范围.

    ( I )∵f(x)为偶函数,∴我们先求其在(0,+∞)内的最值.

    求导得f′(x)=x(2lnx+1),令f′(x)=0⇒2lnx+1=0⇒x=e

    1

    2,

    易知:x∈(0,e −

    1

    2)时,f′(x)<0⇒f(x)单调递减;x∈(e −

    1

    2,+∞)时,f′(x)>0⇒f(x)单调递增.

    故f(x)在(0,+∞)上的最小值f(x)min=f(e −

    1

    2)=-[1/2e].

    再由f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称即知:f(x)min=-[1/2e]为所求.

    ( II )由( I )知:f(x)的图象大致如右图所示:

    由图象(曲线为f(x)的图象)知:当求出直线y=kx-1

    与f(x)的图象相切时,其斜率k的值后,便可求得该直线与f(x)的图象无交点,即

    方程f(x)=kx-1无实数解时,其斜率k的取值范围.我们先考虑x>0的情况.

    设切点为(x0,y0),x0>0⇒k=x0(2ln x0+1)⇒切线方程为:y=x0(2ln x0+1)x+y0-x02(2ln x0+1),

    因该切线与y=kx-1重合,故x02(2ln x0+1)=1⇒2x02ln x0=1-x02.此即2 f(x0)=1-x02. (※)

    在同一坐标系内,作出函数y=2f(x),x>0,与y=1-x2的图象,可知它们的交点为(1,0).

    故方程(※)的解为:x0=1⇒k=1;⇒x>0时,k≥1,直线y=kx-1与f(x)的图象有交点(即原方程有解).

    再根据f(x)的图象的对称性易知:k≤-1时,直线y=kx-1与f(x)的图象也有交点.

    故-1<k<1时,直线y=kx-1与f(x)的图象无交点,即方程f(x)=kx-1无实数解.

    故所求的k的范围是(-1,1).

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点与方程根的关系.

    考点点评: 本题充分考查了利用导数研究函数的单调性、极值、等性质,确定函数的图象,再进一步研究方程根的取值情况的常规思路.