四面体ABCD中,①若AC⊥BD,AB⊥CD,则AD⊥BC;②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小

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  • 解题思路:该题考查的知识点是棱锥的结构特征,及异面直线及其所成的角,线面垂直之间的转化,正四面体的判定等知识点,根据上述知识对四个答案逐一进行判断,易得到答案.

    ①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC;则连接各棱的中点后,我们易得到一个直三棱柱,进而易得到AD⊥BC,故①正确;

    ②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角或与异面直线AC与BD所成角互补,故②错误;

    ③若点O是四面体ABCD外接球的球心,则点O到平面ABD三个顶点的距离相等,利用勾股定理易得点O在平面ABD上的射影到ABD三个顶点的距离相等,即为△ABD的外心,故③正确;

    ④若四个面是全等的三角形,但不一定等边三角形,故四面体ABCD也不一定是正四面体,故④错误.

    故答案为:①③.

    点评:

    本题考点: 命题的真假判断与应用.

    考点点评: 我们在求两条异面直线的夹角时经常用平移的方法,构造三角形,进而解三角形求出夹角,但根据等解定理,构造的三角形中的角可能是锐角也可能是钝角,但两条直线的夹角不能为钝角,故三角形中形成的角可能与线线夹角相等也可能互补.