解题思路:假设三式同时大于[1/4],即
(1−a)b>
1
4
,
(1−b)c>
1
4
,
(1−c)a>
1
4
,让三个等式左边右边分别相乘得到
(1−a)a(1−b)b(1−c)c>
1
64
,结合基本不等式可以判断错误,故假设不成立,即得证.
证明:假设三式同时大于[1/4],即(1−a)b>
1
4,(1−b)c>
1
4,(1−c)a>
1
4…2分
三式同向相乘,得(1−a)a(1−b)b(1−c)c>
1
64(*)…5分
又(1−a)a≤(
1−a+a
2)2=
1
4,…7分
同理(1−b)b≤
1
4,(1−c)c≤
1
4…9分
所以(1−a)a(1−b)b(1−c)c≤
1
64,…11分
与*式矛盾,即假设不成立,故结论正确…12分
点评:
本题考点: 反证法与放缩法.
考点点评: 本题考查用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,在此基础上推出矛盾,是解题的关键.