已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于[1/4].

1个回答

  • 解题思路:假设三式同时大于[1/4],即

    (1−a)b>

    1

    4

    (1−b)c>

    1

    4

    (1−c)a>

    1

    4

    ,让三个等式左边右边分别相乘得到

    (1−a)a(1−b)b(1−c)c>

    1

    64

    ,结合基本不等式可以判断错误,故假设不成立,即得证.

    证明:假设三式同时大于[1/4],即(1−a)b>

    1

    4,(1−b)c>

    1

    4,(1−c)a>

    1

    4…2分

    三式同向相乘,得(1−a)a(1−b)b(1−c)c>

    1

    64(*)…5分

    又(1−a)a≤(

    1−a+a

    2)2=

    1

    4,…7分

    同理(1−b)b≤

    1

    4,(1−c)c≤

    1

    4…9分

    所以(1−a)a(1−b)b(1−c)c≤

    1

    64,…11分

    与*式矛盾,即假设不成立,故结论正确…12分

    点评:

    本题考点: 反证法与放缩法.

    考点点评: 本题考查用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,在此基础上推出矛盾,是解题的关键.