Question

直线l经过点P（2，1）倾斜角为α，它与椭圆x22+y2=1相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．

Answer 1

解题思路：（1）椭圆

x

2

2

+y²=1，直线的参数方程为x=2+tcosα，y=1+tsinα，整理得（cos²α+2sin²α）t²+（4sinα+4cosα）t+4=0利用根和系数的关系得|PA||PB|=t₁•t₂=

4

(co

s

2

α+2si

n

2

α)

=

4

1+si

n

2

α

，

直线l经过点P（2，1），倾斜角为α，

可设直线的参数方程为x=2+tcosα，y=1+tsinα

椭圆方程化为 x²+2y²-2=0

把参数方程代入椭圆方程整理得（cos²α+2sin²α）t²+（4sinα+4cosα）t+4=0

上列关于t的方程的两根t₁，t₂就是PA和PB

∴有根和系数的关系得

|PA||PB|=t₁•t₂=[4

(cos2α+2sin2α)=

4

1+sin2α

∵0≤sin²α≤1

∴1≤sin²α+1≤2

∴

1/2]≤[1

1+sin2α≤1

即

1/2]≤|PA|•|PB|≤1

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查了直线与椭圆的位置关系，联合直线和方程得cos2α+2sin2α）t2+（4sinα+4cosα）t+4=0，

得利用方程组的方法求解，|PA||PB|=t1•t2=4(cos2α+2sin2α)=41+sin2α，再利用三角函数放缩求解．综合性较大，化简运算要仔细，认真．