已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE 1.求证:A1

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  • (Ⅰ)证明:∵直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD

    又∵AD⊥BD,∴A1D⊥BD.…(2分)

    又A1D⊥BE,∴A1D⊥平面BDE.…(3分)

    (Ⅱ)连B1C.∵A1B1∥CD,∴B1C∥A1D.∵A1D⊥BE,∴B1C⊥BE,

    ∴∠BB1C=∠CBE,∴Rt△BB1C∽Rt△CBE,

    BC

    BB1

    =

    CE

    BC

    .∵CE=

    1

    2

    BB1,BC=AD=a,∴

    1

    2

    B

    B 21

    =BC2=a2,∴BB1=

    2

    a.…(5分)

    取CD中点M,连BM.∵CD=

    2

    a,∴BM=

    2

    2

    a.

    过M作MN⊥DE于N,连BN.∵平面CD1⊥平面BD,BM⊥CD,∴BM⊥平面CD1,

    ∴BN⊥DE,∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角.…(7分)∵sin∠MDN=

    MN

    DM

    =

    CE

    DE

    ,DE=

    CE2+CD2

    =

    (

    22a)2+(

    2a)2

    =

    5

    2

    a,

    ∴MN=

    a

    10

    .在Rt△BMN中,tan∠BNM=

    BM

    MN

    =

    5

    ,∴∠BNM=arctan

    5

    即二面角B-DE-C等于arctan

    5

    .…(9分)