(Ⅰ)证明:∵直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD
又∵AD⊥BD,∴A1D⊥BD.…(2分)
又A1D⊥BE,∴A1D⊥平面BDE.…(3分)
(Ⅱ)连B1C.∵A1B1∥CD,∴B1C∥A1D.∵A1D⊥BE,∴B1C⊥BE,
∴∠BB1C=∠CBE,∴Rt△BB1C∽Rt△CBE,
∴
BC
BB1
=
CE
BC
.∵CE=
1
2
BB1,BC=AD=a,∴
1
2
B
B 21
=BC2=a2,∴BB1=
2
a.…(5分)
取CD中点M,连BM.∵CD=
2
a,∴BM=
2
2
a.
过M作MN⊥DE于N,连BN.∵平面CD1⊥平面BD,BM⊥CD,∴BM⊥平面CD1,
∴BN⊥DE,∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角.…(7分)∵sin∠MDN=
MN
DM
=
CE
DE
,DE=
CE2+CD2
=
(
22a)2+(
2a)2
=
5
2
a,
∴MN=
a
10
.在Rt△BMN中,tan∠BNM=
BM
MN
=
5
,∴∠BNM=arctan
5
.
即二面角B-DE-C等于arctan
5
.…(9分)