Question

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、

Answer 1

解题思路：（I）证法1：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；

证法2：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，因为D、E均为中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”．

（II）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直去转化一下，如欲证B₁F⊥AF，可以先证明AF⊥平面B₁BCC₁；利用勾股定理，易证明B₁F⊥FE；

（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B₁M，说明∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角，然后求二面角B₁-AE-F的余弦值．

证明：（I）方法1：设G是AB的中点，连接DG，

∵D为B₁A的中点，

∴DG∥EC，且DG=[1/2]EC，

又∵E为C₁C的中点，

∴四边形DECG是平行四边形，

∴DE∥GC，

又∵DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC．

方法2：连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP．

由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，

可证A₁E=EP，

∵D、E是A₁B、A₁P的中点，

∴DE∥BP，

又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，

∴DE∥平面ABC，

（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，

∴BC⊥AF，

又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁F⊥AF，

∵AB=AA₁=2，

∴B₁F=

6，EF=

3，B₁E=3，

∴B₁F²+EF²=B₁E²，

∴B₁F⊥FE，

∵AF∩FE=F，

∴B₁F⊥平面AEF

（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B₁M，

∵B₁F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B₁M⊥AE，

∴∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角，

C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，

在Rt△AEF中，可求FM=

10

5，

在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，

∴cos∠B₁MF=

6

6，

∴二面角B₁-AE-F的余弦值为

6

6．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面的垂直的判定，考查逻辑思维能力 空间想象能力，是中档题．