如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在

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  • 解题思路:(I)根据AD⊥AB算出AD的斜率为-3,利用点斜式方程列式,得到AD边所在直线的方程为3x+y+2=0,将AD、AB方程联解得到A(0,-2).求出矩形ABCD的对角线交点M(2,0)即为外接圆圆心,利用圆的标准方程即可得到外接圆的方程为(x-2)2+y2=8;

    (II)由直线方程的点斜式,设直线l:y=k(x+2),利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式,解之得-1≤k≤1,结合斜率与倾斜角之间的关系即可算出直线的倾斜角的范围.

    (I)∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD⊥AB,

    ∴直线AD的斜率为-3.…(2分)

    又∵点T(-1,1)在直线AD上,

    ∴AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).

    化简,得3x+y+2=0.…(4分)

    3x+y+2=0

    x−3y−6=0联解,得A坐标为(0,-2),…(6分)

    ∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0).

    ∴M(2,0)为矩形ABCD外接圆的圆心.

    而|AM|=

    (2−0)2+(0+2)2=2

    2.

    ∴矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.…(10分)

    (II)由直线l经过点N(-2,0),设直线l:y=k(x+2),

    ∵直线l与矩形ABCD的外接圆有公共点

    ∴点M(2,0)与直线l的距离小于或等于半径

    |4k|

    k2+1≤2

    2,解之得k2≤1,即-1≤k≤1

    ∴直线的倾斜角的范围为[0,[π/4]]∪[[3π/4],π)…(14分)

    点评:

    本题考点: 圆的标准方程;直线的斜率.

    考点点评: 本题求矩形ABCD的外接圆方程并求直线与圆相交时的倾斜角范围,着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.