解题思路：（1）a=1时，f（x）=x2-2lnx，得f′（x）=2x-[2/x]，从而f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）先求出f′（x）=2x-[2a/x]，再分别讨论①a＜0时，②a＞0时的情况，从而求出函数在[1，2]上的最小值．
（1）a=1时，f（x）=x2-2lnx，
∴f′（x）=2x-[2/x]，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）∵f′（x）=2x-[2a/x]，
①a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]递增，
∴f（x）在[1，2]上的最小值为：f（1）=1，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞
a，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
a，
∴f（x）在（0，
a）递减，在（
a，+∞）递增，
当
a≤1时，f（x）在[1，2]上的最小值为：f（1）=1，
当
a＞1时，f（x）在[1，2]上的最小值为：f（
a）=a-alna．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．