如图1,在平面直角坐标系中,P(2,2),点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且PA=PB.

1个回答

  • 解题思路:(1)过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,根据点P的坐标可得PE=PF=2,然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠APE=∠BPF,然后求出∠APB=∠EPF=90°,再根据垂直的定义证明;

    (2)求出AE的长度,再根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,然后求出OB,再写出点B的坐标即可;

    (3)根据全等三角形对应边相等可得PE=PF,再表示出PE、PF,然后列出方程整理即可得解;

    (4)同(3)的思路求解即可.

    (1)证明:如图1,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,

    ∵P(2,2),

    ∴PE=PF=2,

    在Rt△APE和Rt△BPF中,

    PA=PB

    PE=PF,

    ∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL),

    ∴∠APE=∠BPF,

    ∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°,

    ∴PA⊥PB;

    (2)易得四边形OEPF是正方形,

    ∴OE=OF=2,

    ∵A(8,0),

    ∴OA=8,

    ∴AE=OA-OE=8-2=6,

    ∵Rt△APE≌Rt△BPF,

    ∴AE=BF=6,

    ∴OB=BF-OF=6-2=4,

    ∴点B的坐标为(0,-4);

    (3)∵Rt△APE≌Rt△BPF,

    ∴AE=BF,

    ∵AE=OA-OE=OA-2,

    BF=OB+OF=OB+2,

    ∴OA-2=OB+2,

    ∴OA-OB=4;

    (4)如图2,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,

    同(1)可得,Rt△APE≌Rt△BPF,

    ∴AE=BF,

    ∵AE=OA-OE=OA-2,

    BF=OF-OB=2-OB,

    ∴OA-2=2-OB,

    ∴OA+OB=4.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键,难点在于作辅助线构造出全等三角形.