Question

若fx满足fx+2∫ftdt=x^2,积分区间为0到x,求fx

Answer 1

两边对x求导,得f'(x)+2f(x)=2x

再两边对x求导,得f''(x)+2f'(x)=2,令t=f'(x),则dt/dx=2-2t即dt/(t-1)=-2dx

两边积分得ln[C(t-1)]=-2x,C为常数

则f'(x)-1=[e^(-2x)]/C

积分,得f(x)=D+x-[e^(-2x)]/(2C),C、D为常数

而题中式子以x=0代入,可得f(0)=0,所以D-1/(2C)=0

再以x=-1/2代入,得C=-1,那么D=-1/2-

则f(x)=x-1/2+(e^(-2x))/2