解题思路：（1）首先证明AM∥BC，△BCP∽△APE，可得AE：BC=AP：BP，然后根据题意代入相关数值即得y关于x的函数解析式．
（2）先假设存在点E，使△ABC∽△EAP，则有AB：BC=AE：AP，把第一问的结果代入可得到一个一元二次方程，解此方程看结果是否符合题意，合题意，则存在此点，否则不存在此点．
（3）此问要分情况讨论：当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时；当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时；当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时；根据解直角三角形分别求解，不符合题意的解舍去．
（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC，
∴[AE/BC]=[AP/BP]，（1分）
∵BC=6，AC=8，∴AB=10，（2分）
∵AE=x，AP=y，∴[x/6]=[y/10−y]，
∴y=[10x/6+x]（x＞0）；（4分）
（2）假设在射线AM上存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似；
∵AM∥BC∴∠B=∠BAE，
∵∠ACB=90°，∠AEP≠90°，
∴△ABC∽△EAP，（6分）
∴[AB/BC]=[AE/AP]（7分）
∴[10/6]=[x
10x/6+x]解得：x1=[32/3]，x2=0（舍去）（8分）
∴当AE的长为[32/3]时，△ABC∽△EAP；
（3）∵⊙C与⊙E相切，AE=x
①当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2
∴x2+82=（x+2）2解得：x=15∴⊙E的半径为9．（10分）
②当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2，
∴x2+82=（14-x）2解得：x=[33/7]∴⊙E的半径为[9/7]．（12分）
③当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时，ED=x+6，EC=x+6-8=x-2，
在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2
∴x2+82=（x-2）2解得：x=-15（舍去），
∴内切不成立（14分）
∴当⊙C与⊙E相切时，⊙E的半径为9或[9/7]．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；切线的判定；平行线分线段成比例．
考点点评： 此题难度较大，综合考查函数、方程与圆的相切，三角形相似的判定与性质、平行线性质等知识．