已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}满足b1=2,点P(bn,bn+1)(n∈N*

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  • 解题思路:(1)依题意,易证

    a

    n+1

    a

    n

    =2,bn+1-bn=2,结合题意可知数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,数列{bn}是以2为首项,2为公差的等差数列,从而可求数列{an},{bn}的通项公式;

    (2)cn=an•bn=n•2n+1⇒Tn=c1+c2+…+cn=1•22+2•23+…+n•2n+1,利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn

    (1)∵2an=Sn+2,

    ∴2an+1=Sn+1+2,

    ∴2an+1-2an=Sn+1-Sn=an+1

    an+1

    an=2,又2a1=S1+2,

    ∴a1=2,

    ∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,

    ∴an=2•2n-1=2n

    又b1=2,bn+1=bn+2,

    ∴数列{bn}是以2为首项,2为公差的等差数列,

    ∴bn=2+(n-1)×2=2n;

    (2)∵cn=an•bn=n•2n+1

    ∴Tn=c1+c2+…+cn=1•22+2•23+…+n•2n+1

    ∴2Tn=1•23+2•24…+(n-1)•2n+1+n•2n+2

    两式相减得:-Tn=22+23+24…+2n+1-n•2n+2

    =

    22(1-2n)

    1-2-n•2n+2

    =(1-n)•2n+2-22

    ∴Tn=(n-1)•2n+2+22

    点评:

    本题考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.

    考点点评: 本题考查数列的求和,着重考查等比关系与等差关系的确定及其通项公式,突出考查错位相减法,属于中档题.