解题思路:(1)依题意,易证
a
n+1
a
n
=2,bn+1-bn=2,结合题意可知数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,数列{bn}是以2为首项,2为公差的等差数列,从而可求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)cn=an•bn=n•2n+1⇒Tn=c1+c2+…+cn=1•22+2•23+…+n•2n+1,利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn.
(1)∵2an=Sn+2,
∴2an+1=Sn+1+2,
∴2an+1-2an=Sn+1-Sn=an+1,
∴
an+1
an=2,又2a1=S1+2,
∴a1=2,
∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an=2•2n-1=2n;
又b1=2,bn+1=bn+2,
∴数列{bn}是以2为首项,2为公差的等差数列,
∴bn=2+(n-1)×2=2n;
(2)∵cn=an•bn=n•2n+1,
∴Tn=c1+c2+…+cn=1•22+2•23+…+n•2n+1,
∴2Tn=1•23+2•24…+(n-1)•2n+1+n•2n+2,
两式相减得:-Tn=22+23+24…+2n+1-n•2n+2
=
22(1-2n)
1-2-n•2n+2
=(1-n)•2n+2-22,
∴Tn=(n-1)•2n+2+22.
点评:
本题考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.
考点点评: 本题考查数列的求和,着重考查等比关系与等差关系的确定及其通项公式,突出考查错位相减法,属于中档题.