解题思路：由已知得∁UA={x|1＜x＜3}，从而{k|1＜k＜3或1＜k+1＜3}，由此能求出k的取值范围．
∵全集U=R，集合A={x|x≤1，或x≥3}，
∴∁UA={x|1＜x＜3}
集合B={x|k＜x＜k+1，k=R}，且B∩∁UA≠∅，
∴{k|1＜k＜3或1＜k+1＜3}，∴{k|1＜k＜3或0＜k＜2}
∴{k|0＜k＜3}∴综上所述k的取值范围为：0＜k＜3．
故选：C．
点评：
本题考点： 交、并、补集的混合运算．
考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用．