Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+ 1 2 c=b．

Answer 1

（1）∵accosC+

1

2 c=b，

由正弦定理得2RsinAcosC+

1

2 2RsinC=2RsinB，

即sinAcosC+

1

2 sinC=sinB，

又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴

1

2 sinC=cosAsinC，

∵sinC≠0，

∴ cosA=

1

2 ，

又∵0＜A＜π，

∴ A=

π

3 ．

（2）由正弦定理得：b=

asinB

sinA =

2sinB

3 ，c=

2sinC

3 ，

∴l=a+b+c

=1+

2

3 （sinB+sinC）

=1+

2

3 （sinB+sin（A+B））

=1+2（

3

2 sinB+

1

2 cosB）

=1+2sin（B+

π

6 ），

∵A=

π

3 ，∴B ∈(0，

2π

3 ) ，∴B+

π

6 ∈(

π

6 ，

5π

6 ) ，∴ sin(B+

π

6 ) ∈(

1

2 ，1] ，

故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

（2）另周长l=a+b+c=1+b+c，

由（1）及余弦定理a ²=b ²+c ²-2bccosA，

∴b ²+c ²=bc+1，

∴（b+c） ²=1+3bc≤1+3（

b+c

2 ） ²，

解得b+c≤2，

又∵b+c＞a=1，

∴l=a+b+c＞2，

即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．