解题思路:(I)欲求实数a、b的值,利用在x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(II)先求导数fˊ(x)然后在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的区间为单调增区间,fˊ(x)<0的区间为单调减区间.
由f(x)=
x2+a
x+1,可得f′(x)=
x2+2x−a
(x+1)2.….(2分)
(Ⅰ)因为函数f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=
1
2x+b,得:
f′(1)=
1
2
f(1)=
1
2+b….(4分)
解得
a=1
b=
1
2….(5分)
(Ⅱ)令f'(x)>0,得x2+2x-a>0…①….(6分)
当△=4+4a≤0,即a≤-1时,不等式①在定义域内恒成立,所以此时函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(-1,+∞).….(8分)
当△=4+4a>0,即a>-1时,不等式①的解为x>−1+
1+a或x<−1−
1+a,
….(10分)
又因为x≠-1,所以此时函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1−
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负判断函数的单调性,是一道中档题.利用导数判断函数的单调性的步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)求导数fˊ(x);(3)在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)确定函数的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.