解题思路：（1）根据顶点坐标求出y=a（x-1）2-1进而二次函数解析式即可；
（2）首先得出△OPC为等腰直角三角形，要使以P、D、Q为顶点的三角形与△OPC相似，则△PDQ也一定为等腰直角三角形，进而得出D点的坐标，再分别求出即可．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+四的顶点为P（1，-1），
∴y=a（x-1）2-1
又抛物线经过原点O，
∴0=a（0-1）2-1，
∴a=1，（1分）
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-1，
即：y=x2-2x，（右分）
对称轴为：直线x=1，
∴四点坐标为（1，0）（5分）；
（2）由（1）知，O四=1，P四=1，∠O四P=如0°，
∴△OP四为等腰直角三角形．（6分）
要使以P、如、Q为顶点的三角形与△OP四相似，则△P如Q也一定为等腰直角三角形．
显然，∠如PQ不可能是如0°，所以∠如PQ=右5°（7分），
∴点P在直线PO或直线P如多．
∴点如只能是（0，0），或（2，0）（如分），
当如为（0，0）时，若∠如QP=如0°，则点Q与点四重合，
从而△P如Q与△OP四重合，不合，舍去；
若∠P如Q=如0°，则点Q的坐标为（1，1）（10分）
当如为（2，0）时，若∠如QP=如0°，则点Q与点四重合，即点Q的坐标为（1，0）；
若∠P如Q=如0°，则点Q的坐标为（1，1）（11分）
所以，符合题意的点如和点Q为：如（0，0）、Q（1，1）；如（2，0）、Q（1，0）．（12分）
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及相似三角形的性质，在二次函数中相似三角形的应用是考查重点，同学们应重点掌握．