这个命题对一般的二次曲线都对.下面用曲线系的思想给出统一的证明.
先介绍一下曲线系：设C1 = 0与C2 = 0是两条二次曲线,其交点为A,B,C,D,那么,u*C1 + v * C2 = 0就给出了所有过A,B,C,D的二次曲线方程,其中u,v为不全为零的实数.如果有两个点,比如说A,B重合,那么以上就给出了所有过A,C,D点且在A点切线与C1=0在A点切线相同的所有二次曲线（注意,上面讨论的二次曲线是可退化的,比如说两条直线方程相乘的形式）.
现在回到原来的命题,假设过原点O的二次曲线L为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey = 0.过原点做垂直的两条弦交于两点P,Q,则P,Q过定点M.
首先容易知道,在原点处切线g的方程为 Dx + Ey = 0.
设两直线OP,OQ的方程为y - kx = 0 与 ky + x = 0,则过点O,P,Q且于O点切线为g的二次曲线族为：
(Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey) + u * (y-kx)(ky+x) = 0.（*）
我们知道,直线PQ与直线g1的乘积所代表的二次曲线也在上面的二次曲线族中（只要选取适当的参数u）,因为它过点O,P,Q且在O点处切线为g.现在我们不想解方程,而想直接研究直线PQ的性质.
如果对某个u,（*）式表示的是直线PQ与直线g的乘积,那么Dx + Ey = 0 要整除（*）式.不妨设：
(Mx + Ny + K)(Dx + Ey) = (Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey) + u * (y-kx)(ky+x)
那么Mx + Ny + K = 0就是PQ的方程.
比较x²,y²,x项的系数,得：
MD = A-uk,NE = C + uk,K = 1
所以PQ的方程为(A-uk)x/D + (C + uk)y/E + 1 = 0
上述方程过定点,关于k整理得：
(Ax/D + Cy/E + 1) + (-ux/D + uy/E)k = 0
令Ax/D + Cy/E + 1 = 0与-ux/D + uy/E = 0,得PQ过定点：
(-D/(A+C),-E/(A+C))
再回到原来的题目,椭圆方程x²/a² + y²/b² = 1,把原点平移到(x0,y0)处,即作变换：
x = x0 + x ',y = y0 + y '得新的方程为：
(x ' + x0)²/a² + (y' + y0)²/ b² = 1
在这里,A = 1/a² ,C = 1/b²,D = 2* x0/a² ,E = 2 * y0/b²
那么MN过定点：(-(2*x0/a²)/(1/a² + 1/b²),-(2 * y0/b²)/(1/a²+1/b²))
再换回原来的坐标系,这个点为：((1/b² - 1/a²)x0/(1/a² + 1/b²),(1/a² - 1/b²)y0/(1/a² + 1/b²))
所以常数e =(1/b² - 1/a²)/(1/a² + 1/b²) = (a² - b²)/(a² + b²)
不知道你有没有接触过曲线系,如果以上证明看不懂可以再问.我觉得这是计算量最小的方法了.