Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=Snn+2（n-1）（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到关于a_n与a_n-1的递推式，据递推式的特点可判断数列为等差数列，从而可得答案；

（2）利用裂项相消法即可求得T_n的表达式，由表达式的特点及其单调性可证；

（3）由（1）可表示出

S

n

n

，进而求得S₁+

S

2

2

+

S

3

3

+…+

S

n

n

-（n-1）²，令其等于2011，看关于正整数n的方程是否有解即可；

（1）证明：由a_n=

Sn

n+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，

∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，4为公差的等差数列．

于是，a_n=4n-3，S_n═2n²-n（n∈N^*）．

（2）证明：∵[1

anan+1＝

1

(4n−3)(4n+1)=

1/4(

1

4n−3−

1

4n+1)，

∴T_n=

1

a1a2]+[1

a2a3+…+

1

anan+1=

1/4][（1-[1/5]）+（[1/5]-[1/9]）+（[1/9]-[1/13]）+…+（[1/4n−3]-[1/4n+1]）]=[1/4]（1-[1/4n+1]）＜[1/4]，

又易知T_n单调递增，

故T_n≥T₁=[1

a1a2=

1/5]，

所以[1/5]≤T_n＜[1/4]．

（3）由S_n=na_n-2n（n-1），得

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的递推公式、等差数列的确定及数列与不等式的综合，考查数列求和方法，考查学生分析问题解决问题的能力，属难题，具有一定综合性．