Question

已知函数f（x）=x3-3x+1，g(x)＝(12)x−m，若对∀x1∈[-1，3]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g

Answer 1

解题思路：要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，利用函数的单调性，可求最值，即可得到实数m的取值范围．

要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，

函数f（x）=x³-3x+1．求导得f′（x）=3x²-3x=3（x-1）（x+1）

∴函数f（x）在[-1，1]上，f′（x）＜0，函数为单调减函数，

在[1，3]上，f′（x）＞0，函数为单调增函数，

∴x=1时，函数取得最小值为f（1）=-1，

∵g(x)＝(

1

2)x−m在[1，2]上是减函数，∴g（x₂）_min=g（2）=[1/4]-m，

∴-1≥[1/4]-m，即m≥[5/4]．

故答案为：m≥

5

4．

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题，解决的常用方法是转化为函数的最值问题进行处理．，考查学生逻辑思维，分析解决问题的能力．要使命题成立需满足f（x1）min≥g（x2）min，是解题的关键，属于中档题．