解题思路:(1)直接求函数f(x)=-x3+x2+x的导函数,判断单调性求函数极值即可;
(2)三次函数有三个零点,也就是函数图象与x轴有三个交点,函数的极小值小于0,极大值大于0,即求函数的极值即可解决.
(1)当m=0时,f(x)=-x3+x2+x.
∴f′(x)=-3x2+2x+1=−3(x+
1
3)(x−1).
列表如下:
由表可知:函数f(x)=-x3+x2+x在区间[-[1/3],1]上单调递增,在(−∞,−
1
3)和(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(−
1
3)=-[5/27],
极大值为ƒ(1)=1.
(2)由(1)知,当x=-[1/3]时,
f(x)取得极小值f(−
1
3)=
1
27+
1
9−
1
3+m=m−
5
27,
当x=1时,f(x)取得极大值
f(1)=-1+1+1+m=m+1,
当
m−
5
27<0
m+1>0,即-1<m<[5/27]时,
f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,
f(−
1
3)=m-[5/27]<0,
f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0,
∴f(x)=-x3+x2+m在[−1,−
1
3]上有唯一零点.
在(−
1
3,1]上有唯一零点,在(1,2]上有唯一零点.又f(x)=-x3+x2+x+m在(-∞,-1]上单调递减,
在[2,+∞]上单调递减,∴在(-∞,-1]上恒有ƒf(x)≥f(-1)>0,在[2,+∞)上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x3+x2+x+m-在(-∞,-1]和[2,+∞)上无零点.∴-1<m<[5/27]时,函数f(x)=-x3+x2+x+m在有三个零点,
∴所求实数m的取值范围是(−1,
5
27).
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.
考点点评: 本题考查函数的导数研究函数的单调性,函数零点的概念,以及函数的导数求函数的极值,属于中档题.