四棱锥P-ABCD底面是矩形,PA垂直于ABCD,E.F分别是AB ,PD的中点又二面角P-CD-B为45度 求证:平面

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  • 四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P-CD-B为45°.

    (1)求证:AF‖平面PEC;

    (2)求证:平面PEC⊥平面PCD;

    (3)设AD=2,CD=2,求点A到平面PEC的距离.

    (1)证明:取PC的中点G,连结EG、FG.

    ∵F是PD的中点,

    ∴FG‖CD且FG=CD.

    而AE‖CD且AE=CD,

    ∴EA‖GF且EA=GF,

    故四边形EGFA是平行四边形,从而EG‖AF.

    又AF平面PEC,EG平面PEC,

    ∴AF‖平面PEC.

    (2)证明:∵PA⊥平面ABCD,

    ∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

    又CD⊥AD,

    ∴CD⊥PD,∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.

    ∴∠ADP=45°,则AF⊥PD.

    又AF⊥CD,PD∩CD=D,

    ∴AF⊥平面PCD.

    由(1),EG‖AF,

    ∴EG⊥平面PCD.

    而EG平面PEC,

    ∴平面PEC⊥平面PCD.

    过F作FH⊥PC交PC于点H,又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC,

    ∴FH为点F到平面PEC的距离,而AF‖平面PEC,故FH等于点A到平面PEC的距离.

    在△PFH与△PCD中,

    ∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角,

    ∴△PFH∽△PCD,=.

    ∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4,

    ∴FH=·2=1.

    ∴点A到平面PEC的距离为1.

    望LZ采纳.