Question

（2010•福建模拟）如果n=∫-22（sinx+1）dx，则（1+2x）（1-x）n展开式中x2项的系数为 _____

Answer 1

解题思路：由定积分的计算，可得n的值，进而分析在（1+2x）（1-x）ⁿ展开式中产生x²项的情况，分2种情况讨论，计算可得答案．

根据题意，n=∫_-2²（sinx+1）dx=2-cos2-（-2）+cos（-2）=4，

则（1+2x）（1-x）⁴中，x²项产生有2种情况，

①（1+2x）中出常数项，（1-x）⁴中出x²项，

②（1+2x）与（1-x）⁴中，都出x项；

则其展开式中x²的系数为1×C₄²（-1）²+2×C₄³（-1）=-2；

故答案为：-2．

点评：

本题考点： 二项式系数的性质；定积分．

考点点评： 本题考查二项式定理的运用，解题时关键在于对（1+2x）（1-x）n展开式中如何产生x2项的几种情况的分析讨论．