Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．求证：

Answer 1

解题思路：（1）连结BD，AC交于O，连结OP，由四边形ABCD为平行四边形，推断出OD=OB，又P为DD₁的中点，可知OP∥BD₁，最后利用线面平行的判定定理推断出BD₁∥平面PAC．

（2）由AB=AD，O为BD的中点，推断出AC⊥BD，进而根据DD₁⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，推断出DD₁⊥BD，利用线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面BDD₁，进而根据面面垂直的判定定理证明出平面BDD₁⊥平面PAC；

（3）连结C₁P，B₁C，分别求得PC₁，PB₁，B₁C，进而知B₁C²=B₁P²+CP²，推断出∠CPB₁=90°，即PB₁⊥BC，由AC⊥平面BDD₁，PB₁⊂平面BDD₁，推断出AC⊥PB₁，根据线面垂直的判定定理知PB₁⊥平面PAC．

证明：（1）连结BD，AC交于O，连结OP，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OD=OB，

∵P为DD₁的中点，

∴OP∥BD₁，

∵OP⊂平面PAC，BD₁⊄平面PAC，

∴BD₁∥平面PAC．

（2）∵AB=AD，O为BD的中点，

∴AC⊥BD，

∵DD₁⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴DD₁⊥BD，

∵DD₁∩DB=D，DD₁⊂平面BDD₁，DB⊂平面BDD₁，

∴AC⊥平面BDD₁，

∵AC⊂平面APC，

∴平面BDD₁⊥平面PAC；

（3）连结C₁P，B₁C，

在Rt△DC₁P中，PC₁=

1+1=

2

在Rt△B₁C₁P中，PB₁=

P

C21+B1

C21=

3，

在Rt△B₁C₁C中，B₁C=

4+1=

5，

∴B₁C²=B₁P²+CP²，

∴∠CPB₁=90°，即PB₁⊥PC，

∵AC⊥平面BDD₁，PB₁⊂平面BDD₁，

∴AC⊥PB₁，

∵AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，

∴PB₁⊥平面PAC．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对基本定理的记忆和灵活运用．