解题思路：（1）证△AEC≌△BFC，根据全等三角形的性质推出即可．
（2）连接AN，作MH⊥AN于H，证△AFN≌△CFB，推出∠ANF=∠FBC，∠NAF=∠C=90°，求出∠MAH=∠AEC，AN=BC，证△MAH≌△AEC，推出AH=EC=HN=[1/2]BC=[1/2]AN，证△MAH≌△MNH，推出MN=AM=[1/2]EM=[1/2]BN，∠MNH=∠MAH=∠AEC，即可求出∠MNH+∠ANB=90°．
证明：（1）∵AC=BC，E、F分别为BC、AC的中点，
∴BE=CE=AF=FC，
在△AEC和△BFC中，
AC=BC
∠C=∠C
EC=FC
∴△AEC≌△BFC（SAS），
∴∠FBC=∠EAC．
（2）NB=2MN，BN⊥MN，
由（1）△AEC≌△BFC，
∴AE=BF，∠FBC=∠EAC，
∵BN=2BF，EM=2EA，
∴BN=EM，
连接AN，作MH⊥AN于H，
在△AFN和△CFB中，
AF=FC
∠AFN=∠BFC
FN=BF，
∴△AFN≌△CFB（SAS），
∴∠ANF=∠FBC，∠NAF=∠C=90°，
∵∠MAH+∠EAC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠MAH=∠AEC，AN=BC，
在△AMH和△AEC中，
∠AHM=∠C
∠MAH=∠AEC
AM=EA
∴△MAH≌△AEC（AAS），
∴AH=EC=HN=[1/2]BC=[1/2]AN，
在△AMH和△NMH中，
MH=MH
∠AHM=∠MHN
AH=HN，
∴△MAH≌△MNH（SAS），
∴MN=AM=[1/2]EM=[1/2]BN，∠MNH=∠MAH=∠AEC，
∵∠EAC=∠FBC=∠ANF，
∴∠MNH+∠ANB=90°，
∴NB=2MN，BN⊥MN．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
考点点评： 本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，难道偏大．