Question

（2014•北京模拟）设f（a）=∫10|x2-a2|dx．当a≥0时，则f（a）的最小值为（　　）

Answer 1

解题思路：根据a的范围，可以将被积函数的绝对值去掉，然后找出被积函数的原函数，就函数f（a）利用函数的导数判断函数的单调性，进而求函数的最小值．

（1）0≤a≤1时，f（a）=

∫10|x²-a²|dx

=

∫a0（a²-x²）dx+

∫1a（x²-a²）dx

=（a²x-[1/3]x³）|

a0+（

x3

3-a²x）|

1a

=a³-[1/3]a³+[1/3]-a²-

a3

3+a³

=[4/3]a³-a²+[1/3]．

当a＞1时，f（a）=

∫10（a²-x²）dx=（a²x-[1/3]x³）|

10=a²-[1/3]．

∴f（a）=

4

3a3−a2+

1

3，0≤a≤1

a2−

1

3，a＞1．

（2）当a＞1时，由于a²-[1/3]在[1，+∞）上是增函数，

故f（a）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=1-[1/3]=[2/3]．

当a∈[0，1]时，f′（a）=4a²-2a=2a（2a-1），

由f′（a）＞0知：a＞[1/2]或a＜0，

故在[0，[1/2]]上递减，在[[1/2]，1]上递增．

因此在[0，1]上，f（a）的最小值为f（[1/2]）=[1/4]．

综上可知，f（x）在[0，+∞）上的最小值为[1/4]．

故选：B．

点评：

本题考点： 定积分．

考点点评： 本题考查了定积分的基本运算，分类讨论思想，以及函数的导数法判断函数单调性求函数最值的方法，是高考的常考知识点，考查学生的计算能力．