Question

a的特征向量恒为b的特征向量,证明ab=ba

Answer 1

要加一个条件：A有n个无关的特征向量.这样：

设x是A的特征向量,Ax=ax,现在x也是B的特征向量,所以有b使得Bx=bx

则ABx=A(bx)=bAx=abx,同样BAx=B(ax)=abx,所以ABx=BAx.

因为n个无关的向量组成一组基,所以这就证明了AB=BA.

如果A没有n个无关的特征向量,比如

A=(1 0 0;0 0 -1; 0 1 0),B=(1 0 0;0 1 0; 0 0 -1).A只有一个实特征向量(1,0,0),且它也是B的特征向量.但是AB不等于BA.