Question

求证:(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn3)^2+.+(Cnn)^2=(2n)!/[(n!)^2]

Answer 1

首先,观察两个二项式展开

①(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+...+Cnnx^n

②(1+1/x)^n=Cn0+Cn1(1/x)+Cn2(1/x)^2+...+Cnn(1/x)^n

发现(1+x)^n*(1+1/x)^n的展开式中的常数项,就是所证等式的左边

所以(1+x)^n*(1+1/x)^n

=[(1+x)*(1+1/x)]^n

=(x+2+1/x)^n

=(√x+1/√x)^2n

这个式子展开后的常数项为C(2n,n)=(2n)!/(n!)^2=右边

原题得证