Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b,当p,q满足p+q=1时,试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实

Answer 1

以p+q=1为条件

pf(x)+qf(y)-f(px+qy）=px^2+qy^2-(px+qy)^2（化简后）

=（1-p)x^2+(1-q)y^2-2pqxy 又p+q=1

=qx^2+py^2-2pqxy

=(px+qy)^2≥0

则pf(x)+qf(y)≥f(px+qy

以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy）为条件

则移项合并得（1-p）x^2+（1-q）y^2-2pqxy≥0（化简后） 又0≤p≤1

（1-p）x^2+（1-q）y^2≥2根号下(1-p)(1-q)乘以xy ≥2pqxy

根号下(1-p)(1-q)≥pq

1-p-q≥0 1≥ p+q

则p+q=1时成立