证：
充分性：
Sn=An²+Bn(A,B为常数)
n=1时,a1=S1=A+B
n≥2时,Sn=An²+Bn
S(n-1)=A(n-1)²+B(n-1)
an=Sn-S(n-1)=An²+Bn-A(n-1)²-B(n-1)=2An-A+B
n=1时,a1=2A-A+B=A+B,同样满足通项公式.
数列{an}的通项公式为an=2An-A+B
a(n+1)-an=2A(n+1)-A+B-(2An-A+B)=2A
数列{an}是以A+B为首项,2A为公差的等差数列.
必要性：
数列{an}是等差数列,设公差为d.
Sn=na1+n(n-1)d/2
=(d/2)n²+(a1-d/2)n
令d/2=A,a1-d/2=B
Sn=An²+Bn
综上得数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An²+Bn.
附带说一句：估计原题中没有”即Sn是一个关于n(n∈N*)的不含常数项的二次函数.”这句话,这句话纯属画蛇添足,反而不正确了.这句话的错误之处有两个：
1、n只能取正整数,因此不能把Sn的表达式等同于二次函数；
2、A为0时,Sn的表达式不含二次项,但此时数列{an}是公差为0的等差数列,同样仍是等差数列.
估计这句话是出题者自己加上的,错的.