Question

已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切．

Answer 1

（I）依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上（2分）

因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x ²=8y（5分）

（II）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2．A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂）．（6分）

由

y=kx+2

y=

1

8 x 2 . 可得 x ²-8kx-16=0，x ₁+x ₂=8k，x ₁x ₂=-16（8分）

抛物线方程为 y=

1

8 x 2 ，求导得y′=

1

4 x ．

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是

k 1 =

1

4 x 1 ， k 2 =

1

4 x 2 ， k 1 • k 2 =

1

4 x 1 •

1

4 x 2 =

1

16 x 1 • x 2 =-1

所以，AQ⊥BQ