圆C：x²＋6x＋y²－4y＋12＝0,
∴ x²＋6x＋9+ y²－4y＋4=-12+9+4
∴ (x+3)²+(y-2)²=1
∴ 圆心是C(-3,2),半径是1
∵切线过P(-2,4)
分类讨论：
（1）直线斜率不存在
则直线方程为x=-2
此时,圆心C(-3,2),到x=-2的距离是1
∴ x=-2是圆的一条切线
（2）直线斜率存在
设直线方程为y-4=k(x+2)
∴ 直线方程是kx-y+2k+4=0
∵ 直线与圆相切,
∴ 圆心C(-3,2),到直线的距离等于半径1
∴ |-3k-2+2k+4|/√(k²+1)=1
∴ |-k+2|=√(k²+1)
两边平方
∴ k²-4k+4=k²+1
∴ -4k=-3
∴ k=3/4
∴ 直线方程是y-4=(3/4)(x+2)
即 y-4=(3/4)x-3/2.
化简得切线方程是：3x-4y+22=0
综上,过点p（－2,4）的圆C的切线方程是x=-2或3x-4y+22=0