过椭圆x^2/40+y^2/10=1内的一点M(4,-1),若AB被M平分,求AB 的弦长
【解】原方程即为：
x^2+4y^2=40
设A(x1,y1) B(x2,y2)
作差有：(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
即,(x1+x2)+4(y1+y2)k=0
又x1+x2=8,y1+y2=-2
即k=1
所以AB所在直线方程为:y=x-5
将y=x-5与x^2+4y^2=40联立得：
x^2+4(x-5)^2=40,
5 x^2-40x+60=0,
x^2-8x+12=0,
x=2或6,
所以两个交点为(2,-3),(6,1),
|AB|=4√2.
已知椭圆,X^2/a^2+Y^2/b^2=1的一条弦所在的直线方程是X-Y+3=0,弦的中点坐标是 （-2,1）,则椭圆的离心率是?
【解】先推导一个有关椭圆中点弦的一般性结论：
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
弦的两端点为(x1,y1),(x2,y2),（x1≠x2）
∴有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减得：
（x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
∵p（x0,y0）为中点,∴x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
∴2x0(x1-x2)/a^2+2y0(y1-y2)/b^2=0
∴x0/a^2+（y0/b^2）×k=0（其中k=(y1-y2)/ (x1-x2)为中点弦所在直线的斜率）
∴k=(-b^2x0)/(a^2y0) ……这是个重要结论,要记住.
对于本题来说,k=1,x0=-2,y0=1.
代入上式有：1= 2b^2/a^2
a^2= 2b^2,又因b^2= a^2-c^2,
所以a^2=2 a^2-2c^2,
a^2=2 c^2,c/a=√2/2.
即离心率是√2/2.