解题思路：（I）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：1°当k 为奇数时；2°当k 为偶数时；分别得出导数值为正或负时的x的取值集合，最后综合即可；
（II）当k 为偶数时，由（1）知f′（x），由条件得{an2+1}是一个公比为2的等比数列，从而得到an2=2n-1，最后利用反证法进行证明即可；
（Ⅲ） 当k为奇数时，f′（x）=2（x+
1
x]），要证（1+bn）
1
b
n+1
＞e，即证（1+[1/n]）n+1＞e，两边取对数，即证ln（1+[1/n]）＞[1/n+1]，设1+[1/n]=t，构造函数g（t）=lnt+[1/t]-1，利用导数工具研究其单调性即可证得lnt＞1-[1/t]，最后利用累乘法即可证出S2012-1＜ln2012．
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）k[1/x]=
2[x2−(−1)k]
x，
1°当k 为奇数时，f′（x）=
2(x2+1)
x，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°当k 为偶数时，f′（x）=
2(x2−1)
x，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
（Ⅱ）当k 为偶数时，由（1）知f′（x）=2x-[2/x]，∴f′（an）=2an-[2
an，
由条件得：2（an2-1）=an+12-3，故有：an+12+1=2（an2+1），
∴{an2+1}是一个公比为2的等比数列，∴an2=2n-1，
假设数列{an2}中的存在三项ar2，s2，at2，能构成等差数列
不妨设r＜s＜t，则2as2=ar 2+at2，
即2（2s-1）=2r-1+2t-1，∴2s-r+1=1+2t-r，
又s-r+1＞0，t-r＞0，∴2s-r+1为偶数，1+2t-r为奇数，故假设不成立，
因此，数列{an2}中的任意三项不能构成等差数列；
（Ⅲ） 当k为奇数时，f′（x）=2（x+
1/x]），
∴bn=[1/2]f′（n）-n=[1/n]，Sn=1+[1/2]+[1/3]+…+[1/n]
要证（1+bn）
1
bn+1＞e，即证（1+[1/n]）n+1＞e，两边取对数，
即证ln（1+[1/n]）＞[1/n+1]（10分）
设1+[1/n]=t，则n=[1/t−1]，
lnt＞1-[1/t]（t＞1），构造函数g（t）=lnt+[1/t]-1，
∵x＞1，∴g′（t）=[1/t−
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小；数列递推式．
考点点评： 本小题主要考查等差关系的确定、利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
1年前
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