解题思路：（1）依题意，|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，求出a，再利用c=1，求出b，即可求椭圆C的方程；
（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．
（1）因为|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，
所以2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以a=2．…（2分）
又因为c=1，所以b2=3，…（3分）
所以椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1．…（4分）
（2）假设存在直线AB，使得 S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．
设AB方程为y=k（x+1）…（5分）
将其代入
x2
4+
y2
3＝1，整理得 （4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 x1+x2＝
−8k2
4k2+3．
故点G的横坐标为
x1+x2
2＝
−4k2
4k2+3．所以G（
−4k2
4k2+3，
3k
4k2+3）．…（8分）
因为 DG⊥AB，所以
3k
4k2+3
−4k2
4k2+3−xD×k=-1，解得xD=
−k2
4k2+3，
即D（
−k2
4k2+3，0）…（10分）
∵Rt△GDF1和∵Rt△ODE1相似，∴若S1=S2，则|GD|=|OD|…（11分）
所以
(
−k2
4k2+3−
−4k2
4k2+3)2+(
3k
4k2+3)2＝|
−k2
4k2+3|，…（12分）
整理得 8k2+9=0． …（13分）
因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S1=S2．…（14分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．