解题思路：求出函数的导数，求出切线的斜率，再由正弦函数的单调性，即可求得范围．
函数f（x）=cosx的导数f′（x）=-sinx，
设P（m，cosm），则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为f′（m）=-sinm，
由于0≤m≤[π/3]，则0≤sinm≤
3
2，
则-
3
2≤-sinm≤0，
则在点P处的切线斜率的最小值为-
3
2．
故答案为：-
3
2．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的几何意义，考查运用三角函数的性质求切线的斜率的范围，考查运算能力，属于中档题．