Question

高一数学问题是否存在常数a.b.c使等式：1·2^2+2·3^2+3·4^2+……+n·（n+1)^2={[n(n+1)

Answer 1

假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组：

①a+b+c=24；②4a+2b+c=44；③9a+3b+c=70

联立①②③,解得：a=3；b=11；c=10

即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)

下面用数学归纳法进行证明：

1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)

2.假设当n=k时,等式成立,

即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)

则当n=k+1时,

Sk+1

=Sk+(k+1)(k+2)

=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)

=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]

即当n=k+1时,等式也成立

因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.