Question

如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。 （1）求证：BC⊥面P

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，

∴PA⊥BC，

又AB为斜边，

∴BC⊥AC，

又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC。

（2）证明：∵BC⊥平面PAC，AN

平面PAC，

∴BC⊥AN，

又AN⊥PC，且BC∩PC=C，

∴AN⊥面PBC，

又PB

平面PBC，

∴AN⊥PB，

又∵PB⊥AM，AM∩AN=A ，

∴PB⊥平面AMN。

（3）在Rt△PAB中，PA=AB=4，

∴PB=4

，

∵PM⊥AB，

∴AM=

PB=2

，

∴PM=BM=2

，

又∵PB⊥面AMN，MN

平面AMN，

∴PB⊥MN，

∵MN=PM·tanθ=2

tanθ，且AN⊥平面PBC，MN

平面PBC，

∴AN⊥MN，

∵AN=

，

,

∴当tan ²θ=

，即

时，

有最大值2，

∴当

时，

面积最大，最大值为2。