Question

如图EFGH分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点

Answer 1

这个题有一个通用的解法,例如AE=BF=CG=DH=¹/nAB

设AF交ED、BG于K、L,CH交BG、ED于M、N

∵AE=CG,∴EB=GD,∴BGDE为平行四边形,∴BG∥ED;同理,AF∥HC;

在Rt△ABF和Rt△BCG中,∵AB=BC,BF=CG,∴Rt△ABF≌Rt△BCG,∴∠BAF=∠CAG

∴∠BAF+∠CBG=90°,∴KLMN为正方形

设AB=1,则AE=BF=CG=DH=¹/n；

AF²=AB²+BF²=1+1/n²,∴AF=√(1+1/n²)

△ABF∽△AKE,∴AF:AE=BF:KE,∴KE=BF•AE/AF=1/(n²√(1+1/n²))=1/(n√(1+n²))

∴AK²=AE²-KE²=1/n²-1/(n²(1+n²))=((1+n²)-1)/(n²(1+n²))=1/(1+n²)

∴AK=1/√(1+n²)∴KL=AF-AK-LF=√(1+1/n²)-1/√(1+n²)-1/(n√(1+n²))=(n-1)/√(1+n²)

KLMN面积=KL²=（n-1)²/(1+n²)-----------通用公式

当n=3时,面积比为(3-1)²/(1+3²)=4/10=2/5

当然,可以直接用3代替n