1.
x²＋y²－xy＝2(x+y)为偶数,所以x,y都为偶数
设x＝2m,y＝2n,显然m,n均为正整数
代入原式得(2m)²＋(2n)²＝2(2m+2n)＋(2m)(2n)
化简得：m²＋n²＝(m＋n)＋mn
有(m-n)²＝m²＋n²－2mn＝(m+n)－mn＝1－(m-1)(n-1)
而(m-n)²≥0,故(m-1)(n-1)≤1
显然(m-1)(n-1)应为非负整数,讨论一下：
(1) 若(m-1)(n-1)＝1,则m-1＝n-1＝1,则m＝n＝2
代入验证,不合条件
(2) 若(m-1)(n-1)＝0,则m-1,n-1其中一个为0
不妨设m-1＝0,m＝1
那么x＝2,代入得4＋y²＝2(2+y)＋2y,解得y＝4
同理,n-1＝0时得到x＝4,y＝2
综上：(x,y)＝(2,4)或(4,2)
2.
由x＋1/z＝5得z＝1/(5-x),由y＋1/x＝5得y＝5－1/x
于是1＝xyz＝x(5-1/x)/(5-x)＝(5x-1)/(5-x),解得x＝1
于是y＝4,z＝1/4
z＋1/y＝1/2
3.
99个自然数之和≥99
由平均值不等式a＋b＋c＋d≥4×4次根号(99)>4×3＝12
然后尝试一下：
13可分解成13＝2＋3＋3＋5,或13＝2＋2＋2＋7,
而2×3×3×5＝90,2×2×2×7＝56,均小于99,不行
14＝2＋2＋5＋5,且2×2×5×5＝100满足要求
所以当这99个自然数是98个1和1个2时,a＋b＋c＋d取得最小值14
4.
多项式除法应该会吧?这里详细描述一下,后面就不重复做了
2x^4－3x³＋ax²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－2x²(x-2)－3x³＋ax²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x³＋(a+4)x²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋5x(x-2)＋(a+4)x²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋(a+9)x²－3x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋(a+9)(x²+x-2)－(a+9)(x-2)－3x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋(a+9)(x²+x-2)－(a+12)x＋(2a+18+b)
＝(2x²-5x+a+9)(x²+x-2)－(a+12)x＋(2a+18+b)
所以2x^4－3x³＋ax²＋7x＋b除以x²+x-2商2x²-5x+a+9余-(a+12)x+(2a+18+b)
由题意,-(a+12)x+(2a+18+b)恒等于0,有-(a+12)＝0,2a+18+b＝0
解得a＝-12,b＝6,a/b＝-2
5.
类似第4题的多项式除法
4x³－5x²＋4x－7＝(4x²+3x+10)(x-2)＋13,余数为13
6.
因a是x²－3x＋1的根,满足a²－3a＋1＝0,a²＋1＝3a,所以
(2a^5-5a^4+2a³-8a²)/(a²+1)
＝(2a^5-5a^4+2a³-8a²)/(3a)
＝(2/3)a^4－(5/3)a³＋(2/3)a²－(8/3)a
＝[(2/3)a²+(1/3)a+1](a²-3a+1)－1（注：多项式除法,除以a²－3a＋1）
＝-1
7.
由r＋q＝6－4p＋3q²,得3q²－q＋(6-4p-r)＝0
方程有实根,Δ＝1－12(6-4p-r)≥0,有4p＋r≥71/12……(1)
由r－q＝5－4p＋p²,得p²－4p＋(5+q-r)＝0
方程有实根,Δ＝16－4(5+q-r)≥0,r－q≥1……(2)
由r－q＝5－4p＋p²,得到r＝q＋5－4p＋p²,代入r＋q＝6－4p＋3q²,得
3q²－2q＋(1-p²)＝0,Δ＝4－12(1-p²)≥0,得p²≥2/3……(3)
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题目中能够获得的信息只有这么多,只能判断r>q,而p的大小无法判断
比如：p＝2,q＝(1+√10)/3,r＝(4+√10)/3满足条件,有q