Question

△ABC中,M、N分别为AB、BC边上的点,且AM：BM=5：4,CN：BN=2：3,MN交中线BD于点P,求PD：PB

Answer 1

如图,作ME//AC交BD于E,NF//AC交BD于F

由ME//AC,得AD/ME=AB/BM=1+AM/BM=9/4

由NF//AC,得CD/NF=BC/BN=1+CN/BN=5/3

两式左右两边分别相除,得：NF/ME=27/20

又三角形MEP相似于三角形NFP,所以PF/PE=NF/ME=27/20

PD/PB+1=BD/PB=BD/(BE+PE)=BD/(BF-PF)

设PD/PB=x

即：1/(x+1)=BE/BD+PE/BD=BF/BD-PF/BD

又：

BE/BD=BM/AB=4/9,BF/BD=BN/BC=3/5,代入上式：

1/(x+1)=4/9+PE/BD=3/5-PF/BD

可得两个式子：

1/(x+1)-4/9=PE/BD

1/(x+1)-3/5=-PF/BD

两式相除,得：

[1/(x+1)-4/9]/[1/(x+1)-3/5]=-PE/PF=-20/27

可解得：

1/(x+1)=24/47 => x=47/24-1=23/24