Question

设各项均为正数的无穷数列an bn满足,对任意的n∈N+都有2 bn=an+a(n+1) 且（a （n+1)）^2=bn

Answer 1

[a(n+1)]²=b(n)·b(n+1),于是[a(n)]²=b(n-1)·b(n)

由于a(n)＞0,所以

a(n+1) = √b(n)·√b(n+1),

a(n) = √b(n-1)·√b(n),

代入2b(n) = a(n) + a(n+1)

2√b(n)·√b(n) = √b(n-1)·√b(n) + √b(n)·√b(n+1)

两边约去√b(n),有

2√b(n) = √b(n-1) + √b(n+1)

也就是

√b(n+1) - √b(n) = √b(n) - √b(n-1)

这就证明了 √b(n)是等差数列.