∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=CB，
而FC=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴BH平分DF，即HD=HF，
而点O为正方形ABCD的中心，即OD=OB，
∴OH为△DBF的中位线，
∴OH∥BF，则①正确；
∵CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，
∴HD=HF=HC，
∴∠CDH=∠DCH，
而∠CBE=∠CDF=[1/2]∠DBC=22.5°，
∴∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°，则②正确；
∵GH∥CF，HD=HF，
∴DG=GC=[1/2]DC=[1/2]BC，
在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，
tan∠GDH=tan22.5°=[GH/DG]≠[1/2]，
∴GH≠[1/2]DG，
∴GH≠[1/4]BC，则③不正确；
∵∠ECH=∠CBH，∠CHE=CHB，
∴△HEC∽△HCB，
∴HC：HB=HE：HC，即HC2=HE•HB，
而HC=HF，
∴HF2=HC•HB，则④正确；
故选C．