Question

高中数学解析几何问题椭圆为x^2/8+y^2/2,M(2,1)直线l平行于OM，在y轴上的截距为m（m≠0）直线l叫椭圆

Answer 1

OM斜率为2，∴直线l的斜率为2

则l的方程为y=2x+m，带入椭圆得

x²+4(2x+m)²=8，化简得17x²+16mx+4m²-8=0........①

记点A坐标为(xA,yA)，点B为(xB,yB)

则MA的斜率为(1-yA)/(2-xA)，MB的斜率为(1-yB)/(2-xB)

MA⊥MB，则(1-yA)(1-yB)+(2-xA)(2-xB)=0

带入yA=2xA+m，yB=2xB+m，得

(1-2xA-m)(1-2xB-m)+(2-xA)(2-xB)=0

化简得：(1-m)²-2(xA+xB)(2-m)+5xAxB+4=0

而xA,xB为方程①的两个解，所以由韦达定理得

xA+xB=-16m/17，xAxB=(4m²-8)/17，带入上式得

(1-m)²+32m(2-m)/17+5(4m²-8)/17+4=0

=> 17-34m+17m²+64m-32m²+20m²-40+68=0

=> 5m²+30m+45=0 => m²+6m+9=0

=> (m+3)²=0 ，∴解得m=-3