Question

（2012•江西模拟）已知数列{a n}有a1=a，a2=p（常数p＞0），对任意的正整数n，Sn=a1+a2

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）n=1代入数列递推式，可得a的值；由a₁=0得

S

n

＝

n

a

n

2

，则

S

n+1

＝

(n+1)

a

n+1

2

，两式相减，并整理，可得（n-1）a_n+1=na_n，再写一式na_n+2=（n+1）a_n+1，两式相减，可得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，从而可得结论；

（Ⅱ）先表示出P_n，再利用裂项法求和，即可求得最小的正整数．

（Ⅰ）由已知，得S1＝

1•(a−a)

2＝a1＝a，∴a=0…．（2分）

由a₁=0得Sn＝

nan

2，则Sn+1＝

(n+1)an+1

2，

∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，

于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且na_n+2=（n+1）a_n+1，

∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n）

则有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，

∴{a_n}为等差数列；…．（7分）

（Ⅱ）∵Sn＝

n(n−1)p

2，∴Pn＝

(n+2)(n+1)p

2

(n+1)np

2+

(n+1)np

2

(n+2)(n+1)p

2＝2+

2

n−

2

n+2

∴P1+P2+P3+…+Pn−2n＝(2+

2

1−

2

3)+(2+

2

2−

2

4)+…+(2+

2

n−

2

n+2)−2n=2+1−

2

n+1−

2

n+2；由n是整数可得P₁+P₂+P₃+…+P_n-2n＜3，

故存在最小的正整数M=3，使不等式P₁+P₂+P₃+…+P_n-2n≤M恒成立…．（12分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，正确运用数列递推式是关键．