解题思路：（1）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数大于0（小于0），从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）得f（x）在
x∈[
1
e
−1，e−1]
的单调性，进一步求出f（x）max，得到m的范围；
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，构造函数g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，确定函数g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，从而问题等价于只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，故可求．
（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），∵f′(x)＝2[(x+1)−
1
x+1]＝
2x(x+2)
x+1，
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
则递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．------------（4分）
（2）由f′(x)＝
2x(x+2)
x+1＝0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[
1
e−1，0]上递减，在[0，e-1]上递增-------------（6分）
又f(
1
e−1)＝
1
e2+2，f(e−1)＝e2−2，且e2−2＞
1
e2+2
∴x∈[
1
e−1，e−1]时，[f（x）]max=e2-2，
故m＞e2-2时，不等式f（x）＜m恒成立-------------------------（9分）
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，则g′(x)＝1−
2
1+x＝
x−1
x+1
由g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增（11分）
为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有{
g(0)≥0，
g(1)＜0，
g(2)≥0.解得2-2ln2＜a≤3-2ln3--------（15分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，同时考查了方程根的讨论．解决不等式恒成立求参数的范围，一般是将参数分离出来，通过构造函数，利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值，得到参数的范围．