Question

已知定义域为R的函数f（x）=b−2x2x−a是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）由奇函数性质得：f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求出a，b值，根据单调性的定义即可作出判断；

（2）由函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，变为具体不等式恒成立，从而可转化为函数最值问题解决．

（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，b=1．

又f（-1）=-f（1），得a=-1．

经检验a=-1，b=1符合题意．

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=

1−2x1

2x1+1-

1−2x2

2x2+1=

2(2x2−2x1)

(2x1+1)(2x2+1)．

∵x₁＜x₂，∴2x2−2x1＞0，又（2x1+1）（2x2+1）＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），

所以f（x）为R上的减函数．

（2）因为不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，

所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k），

因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²），

又f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t恒成立，

而3t²-2t=3(t−

1

3)2-[1/3]≥-[1/3]，

所以k＜-[1/3]．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，关于函数的奇偶性、单调性常利用定义解决，而恒成立问题则转化为函数最值问题．