Question

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，E为AB的

Answer 1

解题思路：（I）BC⊥AC，根据A₁D⊥底ABC，得到A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，从而BC⊥AC₁，又因BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知AC₁⊥底A₁BC；

（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁为菱形，从而可得△A₁AE≌△A₁CE．作AF⊥A₁E于F，连CF，则CF⊥A₁E，故∠AFC为二面角A-A₁E-C的平面角，从而可求二面角B-A₁E-C余弦值的大小．

证明：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，

因为A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，

因为A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，

所以BC⊥AC₁，

因为BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，

所以AC₁⊥底A₁BC

（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁为菱形，

∴∠A₁AC=60°AA₁=AC=A₁C=2，

又CE=EA，故△A₁AE≌△A₁CE．

作AF⊥A₁E于F，连CF，则CF⊥A₁E，

故∠AFC为二面角A-A₁E-C的平面角，

∵A1E＝

A1D2+DE2＝2，AF＝CF＝

AE•

AA12−(

AE

2)2

A1E＝

7

4

∴cos∠AFC＝

AF2+CF2−AC2

2AF•CF＝−

1

7．

故二面角B-A₁E-C余弦值的大小[1/7]．

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了线面垂直的判定，以及面面角等有关知识，同时考查了数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题