设数列{an}的前 项和为Sn.已知a1=-1,a(n+1)=Sn+3n-1,n∈N*.(1)求数列{bn}的通项公式?

1个回答

  • (1)求 {an}的通项公式吧?这时还没有bn

    a[n+1]=S[n]+3n-1

    a[n]=S[n-1]+3(n-1)-1

    a[n+1]-a[n]=a[n]+3

    a[n+1]=2a[n]+3

    a[n+1]+3=2(a[n]+3)

    且 a[1]+3=-1+3=2

    即 a[n]+3是以2为首项,2为公比的等比数列

    所以 a[n]+3=2^n

    a[n]=2^n-3

    (2)

    b[n]=3^n+(-1)^(n-1)*k*(a[n]+3)

    =3^n+(-1)^(n-1)*k*2^n

    =3^n-k*(-2)^n

    令f(n)=b[n+1]-b[n]=3^(n+1)-3^n-k(-2)^(n+1)+k(-2)^n

    =2*3^n+3k*(-1)^n*2^n

    一、当k>0时

    显然,当n为偶数时 f(n)>0

    b[n+1]>b[n]是恒成立的

    当n为奇数时

    f(n)=2*3^n+3k*(-1)^n*2^n=2*3^n-3k*2^n

    如果要 f(n)>0,必有

    2*3^n-3k*2^n

    =6(3^(n-1)-k*2^(n-1))>0

    (3/2)^(n-1)>k

    显然,当n=1时,k>0的整数是不存在的.

    二、当k0

    b[n+1]>b[n]是恒成立的

    当n为偶数,且n>=2时

    f(n)=2*3^n+3k*(-1)^n*2^n=2*3^n+3k*2^n

    如果要 f(n)>0,必有

    2*3^n+3k*2^n

    =6(3^(n-1)+k*2^(n-1))>0

    (3/2)^(n-1)>-k

    这时,(3/2)^(n-1)是增函数,只要考虑 n=2时即可

    n=2时,有k=-1存在

    综上所述,存在整数k,且k=-1,使得对任意n∈N*都有b[n+1]>b[n]