楼上几位说的都存在不同程度的问题.楼上说的在概念上有问题,例子也给举错了,y = |x| 在 (-1,0]上定义时,在x = 0处的左导数是存在的,就等于-1,是可导的,而右边的导数虽然没有定义,但是不能因此就认为在这点不可导.在端点处可导的定义就是存在单一方向的导数就可以了,左端点存在右导数,右端点存在左导数,就叫做在端点可导.楼主要问的不可导不是说因为没定义不可导,而是要在可以计算导数的情况下,确实算不出来,才叫做端点不可导的.楼上可以仔细看我下面这个例子,在左端点处理论上是可以计算右导数的,但是算出来是无穷大,这才叫做不可导.
我来告诉你一个绝对正确的例子：函数y = sqrt(x) （就是y = 根号x）在[0,1]上的情况就符合你说的,在左端点x = 0连续但不可导,这是因为你求导后导函数的分母里含有x,导数为
f'(x) = 1/(2sqrt(x)),显然没法代入x = 0来求在x = 0处的右导数（你用导数定义求也会得到一样的结果,右导数是无穷大,即不存在）.连续不用我说了吧肯定是成立的.所以函数在x = 0处连续,但不可导.
还有什么问题继续追问吧.连续可导这块是微积分里的基本定义,一定要搞清楚,否则很容易做题出错,这点绝对不可以马虎.很多人只是知道可导必然连续,连续不一定可导,像背口诀一样,但还是没有理解背后的逻辑.像闭区间连续但端点不可导这个条件是非常严格的,不是随便说一下口诀就完了.一楼说的完全不对,可导就是必然连续的,不管是在端点还是在哪儿都成立.我可以严格地证明给你看.二楼回答的不是楼主要问的,楼主也不用考虑.
我上面哪里有问题都欢迎你继续提问.由于不知道你要我讲多详细,所以我就先回答这么多,你有兴趣,觉得我说的对,我们还可以继续探讨.我非常确信我上面所说结论的正确性,这么多年学数学这点要是还没搞明白那就可以回家卖红薯了.