Question

（2009•盐城一模）例4．若正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(a+1a)2+(b+1b)2+(c+1c)2≥1

Answer 1

解题思路：首先根据题意设出a，b，c的值，然后分别分析a²+b²+c²，与

1

a

2

+

1

b

2

+

1

c

2

的取值范围，最后化简

(a+

1

a

)

2

+

(b+

1

b

)

2

+

(c+

1

c

)

2

即可求证结论成立．

∵若正数a，b，c满足a+b+c=1

∴设a=[1/3]+x，b=[1/3]+y，c=[1/3]+z（其中x+y+z=0）

∴a²+b²+c²

=[1/3]+2（x+y+z）+x²+y²+z²≥[1/3]

∵[1

a2+

1

b2+

1

c2≥3×(

1

(abc)2)

1/3]

又∵1=a+b+c≥3(abc)

1

3

∴abc≤

1

27

∴[1

a2+

1

b2+

1

c2≥3×(

1

(abc)2)

1/3]≥27

∴(a+

1

a)2+(b+

1

b)2+(c+

1

c)2

=a²+b²+c²+

1

a2+

1

b2+

1

c2+6

≥

点评：

本题考点： 不等式的证明；不等式．

考点点评： 本题考查不等式的证明，通过对需要证明的不等式进行化简，分块进行证明．涉及基本不等式以及不等式的转换，需要对知识熟练掌握并运用，属于基础题．